Le théorème de Pythagore

Pythagore était un mathématicien, philosophe Grec ayant vécu entre 580 avant J-C et 495 avant J-C.
Il est notamment à l'origine du célèbre théorème de Pythagore et du nombre d'or qui est notamment très utilisé dans l'architecture.

Le théorème de Pythagore

Utilité du théorème

Le théorème de Pythagore est utilisé, dans le cas d'un triangle rectangle, pour calculer la longueur d'un côté.
Généralement, dans un triangle rectangle, lorsque nous connaissons la longueur de deux côtés, le théorème de Pythagore va nous permettre de calculer la longueur du troisième côté.

Enoncé du théorème

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\).
D'après le théorème de Pythagore, on a

\(BC^2 = AB^2+AC^2\)

\(BC\) étant appelé hypothénuse, c'est le plus grand côté, c'est aussi celui qui est opposé à l'angle droit.

Un exemple

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\).
Calculer la longueur de \(BC\)

D'après le théorème de Pythagore, on a
\(BC^2 = AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2 = 5^2+12^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2 = 25+144\)
\(\Leftrightarrow BC^2 = 169\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{BC^2} = \sqrt{169}\)
\(\Leftrightarrow BC = 13\)

Donc, la longueur de \(BC\) est 13cm.

La réciproque du théorème de Pythagore

A quoi sert-elle?

La réciproque du théorème de Pythagore est utilisée pour faire l'inverse du théorème de Pythagore. Dans un triangle dont nous connaissons les longueurs de tous les côtés, la réciproque du théorème de Pythagore va nous permettre de montrer si, oui ou non, le triangle est rectangle.

Comment l'utiliser?

Prenons le triangle \(ABC\).
Admettons que le côté le plus grand est \(BC\).

Étape 1: calcul de \(BC^2 \)
Étape 2: calcul de \(AB^2 + AC^2 \)

  • Si \(BC^2 = AB^2+AC^2\) alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle et l'angle droit se trouve en \(A\) (point non présent dans le plus grand côté).

  • Si \(BC^2 \ne AB^2+AC^2\) alors le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

Un exemple

Le triangle \(ABC\) est-il rectangle?

Le côté le plus grand est \(AB\), donc c'est lui que l'on va mettre au carré tout seul.
\(AB^2 = 9^2=81\)
\(AC^2+BC^2 = 7^2+5^2 = 49 + 25 = 74\)

Donc \(AB^2 \ne AC^2+BC^2\).
Donc le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.
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